Study of partial differential equations in the context of modular fractional spaces : Image processing as applications

Le Doyen de la Faculté des Sciences et Techniques de Béni Mellal porte à la connaissance du public que Monsieur KASSIMI Soufiane, soutiendra une thèse de Doctorat intitulée : «Study of partial differential equations in the context of modular fractional spaces : Image processing as applications ».

La soutenance publique aura lieu le Lundi 8 Juin 2026 à 10h30 à l’Amphi de Conférences, à la Faculté des Sciences et Techniques de Béni Mellal, devant le jury composé de :

• Monsieur Hamid EL MAROUFY : Professeur, Faculté des Sciences et Techniques, Université Sultan Moulay Slimane, Béni Mellal, Président ;

• Monsieur Mohamed RHOUDAF : Professeur, Faculté des Sciences, Université Moulay Ismail, Meknès, Rapporteur ;

• Monsieur Salem NAFIRI : Maître de Conférences Habilité, École Hassania des Travaux Publics, Casablanca, Rapporteur ;

• Monsieur Lekbir AFRAITES : Professeur, Faculté des Sciences et Techniques, Université Sultan Moulay Slimane, Béni Mellal, Rapporteur ;

• Madame Naima SOUKHER : Maître de Conférences Habilité, Ecole Supérieure de Technologie, Université Sultan Moulay Slimane, Fkih Ben Salah, Examinatrice ;

• Madame Hajar SABIKI : Maître de Conférences Habilité, École Nationale de Commerce et de Gestion, Université Sultan Moulay Slimane, Béni Mellal, Co-directrice de Thèse ;

• Monsieur Hicham MOUSSA : Maître de Conférences Habilité, Faculté des Sciences et Techniques, Université Sultan Moulay Slimane, Béni Mellal, Directeur de thèse.

Résumé:

La réduction du bruit dans les images numériques constitue un enjeu majeur du traitement d’images, en particulier dans des applications critiques telles que l’imagerie médicale, où la qualité visuelle influence directement la fiabilité de l’analyse et du diagnostic. La dégradation des images due au bruit, inhérente aux phases d’acquisition, de transmission et de prétraitement, nécessite le développement de modèles mathématiques capables de réduire efficacement ce bruit tout en préservant les structures géométriques essentielles telles que les contours, les textures et les détails fins. Cependant, cet objectif soulève plusieurs défis majeurs, notamment le compromis délicat entre le lissage et la préservation des discontinuités, la réduction de l’effet d’escalier et le coût computationnel élevé des méthodes non locales.

Dans ce contexte, les équations aux dérivées partielles fractionnaires non locales offrent un cadre particulièrement adapté pour modéliser les phénomènes de diffusion anormale et les interactions à longue portée. Cette thèse propose une étude approfondie de modèles elliptiques et paraboliques fractionnaires formulés dans le cadre général des espaces modulaires, permettant de traiter des lois de croissance non standard et d’introduire une adaptabilité spatiale fine, essentielle pour décrire les variations locales du contenu visuel.

Sur le plan analytique, des résultats d’existence et de multiplicité des solutions sont établis pour des problèmes elliptiques non locaux impliquant l’exposant critique de Sobolev fractionnaire. Ces résultats, obtenus dans le cadre général des espaces fractionnaires de Musielak, étendent la théorie classique et fournissent un cadre unifié pour l’analyse des modèles à croissance non standard.

Du point de vue du traitement d’images, un modèle de débruitage basé sur un opérateur elliptique non local de type Laplacien ψ_{x,y}(·) a été développé, permettant un contrôle simultané de la non-localité et de l’anisotropie du processus de diffusion. Afin de préserver les contours tout en éliminant le bruit, des fonctions de diffusion adaptatives sont introduites, modulées localement par le gradient d’une image pré-filtrée, évitant ainsi toute confusion entre le bruit et les structures significatives.

Le coût computationnel élevé des opérateurs fractionnaires est atténué par des schémas de discrétisation efficaces exploitant les liens avec les dérivées de Riesz et des schémas numériques optimisés de type L¹. Par ailleurs, pour limiter l’effet d’escalier et améliorer la régularité des solutions, des modèles hybrides combinant équations aux dérivées partielles, convolution bilatérale et équations d’ordre supérieur sont proposés.

L’introduction de dérivées fractionnaires en temps de type Caputo, couplées à une convolution gaussienne, permet d’intégrer une mémoire non locale dans le temps, assurant une transition plus lisse entre les niveaux d’intensité et un meilleur contrôle de la dynamique du débruitage. Ces modèles sont implémentés numériquement à l’aide de schémas aux différences finies et d’approximation L¹, garantissant stabilité, efficacité et précision.

Les validations expérimentales montrent que les approches proposées offrent un excellent compromis entre réduction du bruit et préservation des détails, surpassant les méthodes classiques.

Mots Clés : Équations aux dérivées partielles non linéaires ; Espaces de Musielak–Orlicz–Sobolev fractionnaires ; Existence et unicité ; Analyse de stabilité ; Dérivées fractionnaires ; Problèmes non locaux ; Traitement d’images ; Modèles de type Perona–Malik ; Débruitage d’images ; Méthodes numériques.